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<title>三次元極座標のラプラシアン</title>
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h2{ text-align: center; } h3{color: blue;} h4{color: orange; background-color : lightgreen; }
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<!-- [FC2 Analyzer] -->
<div class="main">
<br>
<h2>三次元極座標におけるラプラシアン</h2>
ゴリ押しでやってみる。
<h3>前提</h3>
<hr>
座標変換式<br><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\begin{cases} x=r\sin \theta \cos \varphi \\ y=r\sin \theta \sin\varphi \\z=r\cos\theta \end{cases}"><br><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta =\tan^{-1}\sqrt{x^2+y^2}/z \\ \varphi =\tan^{-1}y/x\end{cases}"><br><br><br>
直交座標系におけるラプラシアン<br><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\triangledown ^2=\triangle =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}"><br><br>
これを極座標に変換する。変換のためには、微分の連鎖律<br><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \varphi }"><br><br>
などを使う。<br><br><br>
<h3>計算</h3>
<hr>
<h4>x の一次</h4>
<div class="bd">
x で偏微分する。r の場合は素直に<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{r\sin \theta \cos \varphi }{r}=\sin\theta \cos\varphi "><br>
である。θの場合は、まず<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\tan \theta =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}"><br>
の両辺を x で偏微分して、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{1}{\cos^2 \theta }\frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{1}{2z}\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}"><br>
だから、これを整理すると<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial \theta }{\partial x}=\cos^2 \theta \frac{1}{r\cos \theta }\frac{r\sin\theta \cos\varphi }{r\sin \theta }=\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}"><br>
が得られる。φの場合は、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\tan \varphi =\frac{y}{x}"><br>
だから、x で偏微分して<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\cos^2\varphi \cdot \left (-\frac{y}{x^2} \right )=-\cos^2 \varphi \cdot \frac{r\sin \theta \sin \varphi }{r^2 \sin^2\theta \cos^2\varphi }=-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }"><br>
となる。したがって、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \varphi }=\sin\theta \cos\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }"><br>
を得た。<br>
</div>
<h4>y の一次</h4>
<div class="bd">
y で偏微分する。計算は x で偏微分したときとやり方は同じで、結果を書いておけば<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial r}{\partial y}=\sin \theta \sin \varphi ,\ \ \ \frac{\partial \theta }{\partial y}=\frac{\cos \theta \sin\varphi }{r},\ \ \ \frac{\partial \varphi }{\partial y}=\frac{\cos\varphi }{r\sin\theta }"><br>
となる。これらより、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial y}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{\partial }{\partial \varphi }=\sin\theta \sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }"><br>
を得る。<br>
</div>
<h4>z の一次</h4>
<div class="bd">
z で偏微分する。これも上と同様で、結果を書いておけば<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial r}{\partial z}=\cos\theta ,\ \ \ \frac{\partial \theta }{\partial z}=-\frac{\sin\theta }{r},\ \ \ \frac{\partial \varphi }{\partial z}=0"><br>
となるので、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \varphi }=\cos\theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }"><br>
を得る。<br>
</div>
<h4>x の二次</h4>
<div class="bd">
ここからが超面倒くさくなる。<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial^2 }{\partial x^2}=\left ( \sin\theta \cos\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\right) \frac{\partial}{\partial x}"><br>
であるから、順番に偏微分を計算していこう。まず、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\sin\theta \cos\varphi \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial }{\partial x}=\sin^2\theta \cos^2 \varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial r \partial\theta }-\frac{\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r^2}\frac{\partial }{\partial \theta }"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?-\frac{\sin\varphi \cos\varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r}+\frac{\sin\varphi \cos \varphi }{r^2}\frac{\partial }{\partial \varphi }"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\cos\theta \cos^2 \varphi }{r}\left(\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}+\sin\theta \frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta } \right )+\frac{\cos\theta \cos^2 \varphi }{r^2}\left(-\sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\cos\theta \frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2} \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?-\frac{\cos\theta \cos\varphi \sin\varphi }{r^2}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial^2 }{\partial \theta \partial \varphi }-\frac{\cos\theta }{\sin^2 \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi } \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\frac{\partial}{\partial x}=-\frac{\sin\theta }{r}\left(-\sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\cos\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r} \right )-\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\left(\cos\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \theta \partial \varphi }-\sin\varphi \frac{\partial }{\partial \theta } \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{\sin\varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\left(\sin\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \varphi ^2}+\cos\varphi \frac{\partial }{\partial \varphi } \right )"><br>
となるから、求めるべきはこれらの和である。すなわち、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial^2 }{\partial x^2}=\sin^2\theta \cos^2\varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{\cos^2\theta \cos^2 \varphi }{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2}+\frac{\sin^2 \varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\frac{\partial^2 }{\partial \varphi ^2}"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{2\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta }-\frac{2\cos\theta \sin\varphi \cos\varphi }{r^2 \sin\theta }\frac{\partial^2 }{\partial \theta \partial \varphi }-\frac{2\sin\varphi \cos\varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r}"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{\cos^2 \theta \cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi }{r}\frac{\partial }{\partial r}-\left(\frac{2\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r^2}-\frac{\cos\theta \sin^2 \varphi }{r^2 \sin\theta }\right)\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{2\sin\varphi \cos\varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }"><br>
でまとまった。
</div>
<h4>y の二次</h4>
<div class="bd">
x の二次と同様である。すなわち、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial^2 }{\partial y^2}=\left( \sin\theta \sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi } \right)\frac{\partial}{\partial y}"><br>
を計算すればよい。これも順番に求めていくと、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\sin\theta \sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial}{\partial y}=\sin^2 \theta \sin^2 \varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\sin\theta\cos \theta \sin^2 \varphi \left(\frac{1}{r}\frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta }-\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \theta } \right)"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+ \sin\varphi \cos \varphi \left( \frac{1}{r}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r}-\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \varphi } \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\cos\theta \sin^2 \varphi }{r}\left(\sin\theta \frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta}+\cos\theta \frac{\partial }{\partial r} \right )+\frac{\cos\theta \sin^2 \varphi }{r^2}\left(\cos\theta \frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2}-\sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta} \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{\cos\theta \sin \varphi \cos\varphi }{r^2}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial^2 }{\partial \theta\partial\varphi }-\frac{\cos\theta }{\sin^2 \theta} \frac{\partial }{\partial \varphi } \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\cos \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\cos\varphi}{r}\left(\sin\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \varphi\partial r }+\cos\varphi \frac{\partial }{\partial r } \right )+\frac{\cos\theta \cos\varphi}{r^2 \sin \theta}\left(\sin\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \theta\partial \varphi }+\cos\varphi \frac{\partial }{\partial \theta } \right )"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{\cos\varphi}{r^2 \sin^2 \theta}\left(\cos\varphi \frac{\partial^2 }{\partial\varphi^2}-\sin\varphi \frac{\partial }{\partial \varphi } \right )"><br>
となる。よって求めるべきこれらの和は、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial^2 }{\partial y^2}=\sin^2\theta \sin^2 \varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{\cos^2\theta \sin^2 \varphi}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \theta^2}+\frac{\cos^2 \varphi}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{2\sin\theta \cos\theta\sin^2 \varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta}+\frac{2\cos\theta \sin\varphi\cos \varphi}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi}+\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial\varphi \partial r}"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?+\frac{\cos^2 \theta \sin^2 \varphi+\cos^2 \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\left(-\frac{2\sin\theta\cos\theta\sin^2 \varphi}{r^2}+\frac{\cos\theta\cos^2 \varphi}{r^2\sin\theta} \right)\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}"><br>
となる。
</div>
<h4>z の二次</h4>
<div class="bd">
これは一気に求めてしまおう。<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\left( \cos\theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\right )\frac{\partial}{\partial z}"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?=\cos^2 \theta\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{\sin^2 \theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta}+\frac{\sin^2 \theta}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}"><br>
でおしまい。
</div>
<h4>求めるべき式</h4>
<div class="bd">
以上より、いろいろ纏まったり消えたりする項があって、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\triangledown ^2=\triangle =\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}"><br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?=\frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \theta^2}+\frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}"><br>
が得られる。これが求めるべき式、三次元極座標におけるラプラシアンである。<br>
なお、もう少し洒落た書き方もある。すなわち、<br>
<img src="http://www.codecogs.com/png.latex?\triangle=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r} \right )+\frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta} \right )+\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}"><br>
とする。内容は上と変らない。
</div>
<br><br><br>
<input type="image" src="btnhome.png" alt="HOME" onclick="window.location.href='../index.html'" style="float: right;">
<br>
<br>
</div>
</body>
</html>
