数式１

（問題２）

$\vec{a}=(a_1,a_2),\ \ \ \vec{b}=(b_1,b_2)$
である。

　　 $S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta =\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-\cos^2 \theta }$
に
　　 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
を代入すると、

　　 $S=\frac{1}{2} |\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$

となります。これのルート内を計算すると、

　　 $|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=\left \{ (a_1)^2+(a_2)^2 \right \}\left \{ (b_1)^2+(b_2)^2 \right \}-(a_1b_1+a_2b_2)^2$
　　　　 $=(a_1)^2(b_2)^2-2a_1b_1a_2b_2+(a_2)^2(b_1)^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2$

となるので、
　　　　 $S=\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|$
です。

※元の質問と回答