数式３

（回答）

まず、 $\vec{BA}=\vec{a},\ \vec{BC}=\vec{b}$ とする。このとき、AE : EC = 3 : 2 なので、
　　　 $\vec{BE}=\frac{2}{5}\vec a+\frac{3}{5}\vec{b}$
である。また、m, n を使って
　　　 $\vec{BF}=\vec{BC}+\vec{CF}=m\vec{a}+\vec{b}=n\vec{BE}=\frac{2}{5}n\vec a+\frac{3}{5}n\vec b$
だから、ベクトルの係数を比較して解くと、
　　　 $m=\frac{2}{5}n,\ 1=\frac{3}{5}n\ \ \Rightarrow \ \ m=\frac{2}{3},\ n=\frac{5}{3}$
となる。したがって、
　　　 $\vec{BF}=\frac{2}{3}\vec{a}+\vec{b}$
である。

また、∠BEC=∠AEG=∠AGE と、∠CBE=∠GBA より、△BCE∽△BAG である。したがって、BG=kBE と置くと、

　　　BC : BE = BA : BG

より、2 : BE = 3 : kBE だから、k=3/2。よって、
　　　 $\vec{BG}=\frac{3}{2}\vec{BE}=\frac{3}{2} \left( \frac{2}{5}\vec a+\frac{3}{5}\vec{b} \right)=\frac{3}{5}\vec a + \frac{9}{10}\vec b=\frac{9}{10}\left ( \frac{2}{3}\vec a+\vec b \right )=\frac{9}{10}\vec{BF}$
となる。これより、求めるべき答え

　　　BG : GF = 9 : 1

が得られる。

※元の質問と回答

数式3