数式４

まず
　　　　 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\int_{n}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm d x = \left [ 2x^{1/2} \right ]_{n}^{n+1}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}$
だから、
　　　　 $\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\cdots+ \frac{1}{\sqrt{2n-1}}$
　　　　　 $< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})+2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+ \cdots + 2(\sqrt{2n-1}-\sqrt{2n-2})$
　　　　　 $=2(\sqrt{2n-1}-\sqrt{n-1})$
同様に
　　　　 $\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\cdots+ \frac{1}{\sqrt{2n-1}}$
　　　　　 $>2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})+2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+\cdots+2(\sqrt{2n}-\sqrt{2n-1})$
　　　　　 $=2(\sqrt{2n}-\sqrt{n})$
となる。よって
　　　　 $2(\sqrt{2}-1)< \frac{1}{\sqrt{n}} \left ( \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\cdots+ \frac{1}{\sqrt{2n-1}} \right ) <2\left ( \sqrt{2-\frac{1}{n}}-\sqrt{1-\frac{1}{n}} \right )$
だから、n を無限大へもっていくと、求めるべき極限値は「はさみうち」されて
　　　　 $2(\sqrt{2}-1)$
となる。

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数式４

問題

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