三次元極座標のラプラシアン

x の一次

x で偏微分する。r の場合は素直に
　　 $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{r\sin \theta \cos \varphi }{r}=\sin\theta \cos\varphi$
である。θの場合は、まず
　　 $\tan \theta =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$
の両辺を x で偏微分して、
　　 $\frac{1}{\cos^2 \theta }\frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{1}{2z}\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
だから、これを整理すると
　　 $\frac{\partial \theta }{\partial x}=\cos^2 \theta \frac{1}{r\cos \theta }\frac{r\sin\theta \cos\varphi }{r\sin \theta }=\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}$
が得られる。φの場合は、
　　 $\tan \varphi =\frac{y}{x}$
だから、x で偏微分して
　　 $\frac{\partial \varphi }{\partial x}=\cos^2\varphi \cdot \left (-\frac{y}{x^2} \right )=-\cos^2 \varphi \cdot \frac{r\sin \theta \sin \varphi }{r^2 \sin^2\theta \cos^2\varphi }=-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }$
となる。したがって、
　　　　　 $\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial x}\frac{\partial }{\partial \varphi }=\sin\theta \cos\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$
を得た。

y の一次

y で偏微分する。計算は x で偏微分したときとやり方は同じで、結果を書いておけば
　　 $\frac{\partial r}{\partial y}=\sin \theta \sin \varphi ,\ \ \ \frac{\partial \theta }{\partial y}=\frac{\cos \theta \sin\varphi }{r},\ \ \ \frac{\partial \varphi }{\partial y}=\frac{\cos\varphi }{r\sin\theta }$
となる。これらより、
　　　　　 $\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial y}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\frac{\partial }{\partial \varphi }=\sin\theta \sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$
を得る。

z の一次

z で偏微分する。これも上と同様で、結果を書いておけば
　　 $\frac{\partial r}{\partial z}=\cos\theta ,\ \ \ \frac{\partial \theta }{\partial z}=-\frac{\sin\theta }{r},\ \ \ \frac{\partial \varphi }{\partial z}=0$
となるので、
　　　　　 $\frac{\partial }{\partial z}=\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\partial \theta }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \varphi }=\cos\theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }$
を得る。

x の二次

ここからが超面倒くさくなる。
　　 $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}=\left ( \sin\theta \cos\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\right) \frac{\partial}{\partial x}$
であるから、順番に偏微分を計算していこう。まず、
　　 $\sin\theta \cos\varphi \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial }{\partial x}=\sin^2\theta \cos^2 \varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial r \partial\theta }-\frac{\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r^2}\frac{\partial }{\partial \theta }$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $-\frac{\sin\varphi \cos\varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r}+\frac{\sin\varphi \cos \varphi }{r^2}\frac{\partial }{\partial \varphi }$
　　 $\frac{\cos\theta \cos\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\cos\theta \cos^2 \varphi }{r}\left(\cos \theta \frac{\partial }{\partial r}+\sin\theta \frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta } \right )+\frac{\cos\theta \cos^2 \varphi }{r^2}\left(-\sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\cos\theta \frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2} \right )$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $-\frac{\cos\theta \cos\varphi \sin\varphi }{r^2}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial^2 }{\partial \theta \partial \varphi }-\frac{\cos\theta }{\sin^2 \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi } \right )$
　　 $-\frac{\sin \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\frac{\partial}{\partial x}=-\frac{\sin\theta }{r}\left(-\sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\cos\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r} \right )-\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\left(\cos\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \theta \partial \varphi }-\sin\varphi \frac{\partial }{\partial \theta } \right )$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $+\frac{\sin\varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\left(\sin\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \varphi ^2}+\cos\varphi \frac{\partial }{\partial \varphi } \right )$
となるから、求めるべきはこれらの和である。すなわち、
　　 $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}=\sin^2\theta \cos^2\varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{\cos^2\theta \cos^2 \varphi }{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2}+\frac{\sin^2 \varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\frac{\partial^2 }{\partial \varphi ^2}$
　　　　　　　　　 $+\frac{2\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta }-\frac{2\cos\theta \sin\varphi \cos\varphi }{r^2 \sin\theta }\frac{\partial^2 }{\partial \theta \partial \varphi }-\frac{2\sin\varphi \cos\varphi }{r}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r}$
　　　　　　　　　 $+\frac{\cos^2 \theta \cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi }{r}\frac{\partial }{\partial r}-\left(\frac{2\sin\theta \cos\theta \cos^2 \varphi }{r^2}-\frac{\cos\theta \sin^2 \varphi }{r^2 \sin\theta }\right)\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{2\sin\varphi \cos\varphi }{r^2 \sin^2 \theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }$
でまとまった。

y の二次

x の二次と同様である。すなわち、
　　 $\frac{\partial^2 }{\partial y^2}=\left( \sin\theta \sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi } \right)\frac{\partial}{\partial y}$
を計算すればよい。これも順番に求めていくと、
　　 $\sin\theta \sin\varphi \frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial}{\partial y}=\sin^2 \theta \sin^2 \varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\sin\theta\cos \theta \sin^2 \varphi \left(\frac{1}{r}\frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta }-\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \theta } \right)$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $+ \sin\varphi \cos \varphi \left( \frac{1}{r}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi \partial r}-\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \varphi } \right )$
　　 $\frac{\cos\theta \sin\varphi }{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\cos\theta \sin^2 \varphi }{r}\left(\sin\theta \frac{\partial^2 }{\partial r \partial \theta}+\cos\theta \frac{\partial }{\partial r} \right )+\frac{\cos\theta \sin^2 \varphi }{r^2}\left(\cos\theta \frac{\partial^2 }{\partial \theta ^2}-\sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta} \right )$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $+\frac{\cos\theta \sin \varphi \cos\varphi }{r^2}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial^2 }{\partial \theta\partial\varphi }-\frac{\cos\theta }{\sin^2 \theta} \frac{\partial }{\partial \varphi } \right )$
　　 $\frac{\cos \varphi }{r\sin\theta }\frac{\partial }{\partial \varphi }\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\cos\varphi}{r}\left(\sin\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \varphi\partial r }+\cos\varphi \frac{\partial }{\partial r } \right )+\frac{\cos\theta \cos\varphi}{r^2 \sin \theta}\left(\sin\varphi \frac{\partial^2 }{\partial \theta\partial \varphi }+\cos\varphi \frac{\partial }{\partial \theta } \right )$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $+\frac{\cos\varphi}{r^2 \sin^2 \theta}\left(\cos\varphi \frac{\partial^2 }{\partial\varphi^2}-\sin\varphi \frac{\partial }{\partial \varphi } \right )$
となる。よって求めるべきこれらの和は、
　　 $\frac{\partial^2 }{\partial y^2}=\sin^2\theta \sin^2 \varphi \frac{\partial^2 }{\partial r^2}+\frac{\cos^2\theta \sin^2 \varphi}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \theta^2}+\frac{\cos^2 \varphi}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2}$
　　　　　　　　　 $+\frac{2\sin\theta \cos\theta\sin^2 \varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta}+\frac{2\cos\theta \sin\varphi\cos \varphi}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi}+\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r}\frac{\partial^2}{\partial\varphi \partial r}$
　　　　　　　　　 $+\frac{\cos^2 \theta \sin^2 \varphi+\cos^2 \varphi}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\left(-\frac{2\sin\theta\cos\theta\sin^2 \varphi}{r^2}+\frac{\cos\theta\cos^2 \varphi}{r^2\sin\theta} \right)\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{2\sin\varphi\cos\varphi}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}$
となる。

z の二次

これは一気に求めてしまおう。
　　 $\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\left( \cos\theta \frac{\partial }{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\right )\frac{\partial}{\partial z}$
　　　　　 $=\cos^2 \theta\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{\sin^2 \theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta}+\frac{\sin^2 \theta}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}$
でおしまい。

三次元極座標におけるラプラシアン

前提