三角形の内心・外心・重心・垂心・傍心

まず、l = AB, m = BC, n = CA と置くと
　　 $l=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
　　 $m=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$
　　 $n=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$
である。ここで内心を P とし、BP と AC の交点を D とする。BD は ∠ABC を二等分することより AD : DC = l : m だから、
　　 $\overrightarrow{AD}=\frac{l}{l+m}\overrightarrow{AC}$
である。また AD = ln / (l + m) であることを考慮して、AP は ∠BAD を二等分することより
　　 $BP:PD=AB:AD=l:\frac{ln}{l+m}=(l+m):n$
となるから、
　　 $\overrightarrow{AP}=\frac{n}{l+m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{l+m}{l+m+n}\overrightarrow{AD}=\frac{n}{l+m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{l}{l+m+n}\overrightarrow{AC}$
が得られる。ゆえに内心は
　　 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$
　　　　 $=\frac{m}{l+m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{l+m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{l}{l+m+n}\overrightarrow{OC}$
と求められた。内心の座標を (X, Y) と置くと、これは
　　 $X=\frac{\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}x_1+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}x_2+\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}x_3}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}}$
　　 $Y=\frac{\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}y_1+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}y_2+\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}y_3}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}}$
と書き直すことができる。

なお、内心の半径を r とすると、
　　 $t = \frac{l+m+n}{2}$
とおくとき、r は
　　 $r = \sqrt{\frac{(t - l)(t - m)(t - n)}{t}}$
と求められる。

外心

線分 AB の垂直二等分線上の点は、パラメータ s を使って
　　 $(X,Y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)+s\left(y_2-y_1,x_1-x_2 \right )$
と書ける。同様に線分 BC の垂直二等分線も、パラメータ t を使って
　　 $(X,Y)=\left(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}\right)+t\left(y_3-y_2,x_2-x_3 \right )$
と書ける。三角形の外心 (X, Y) はこれらの交点だから、上の連立方程式を解いて
　　 $t=\frac{1}{2}\frac{(y_3-y_1)(y_2-y_1)-(x_3-x_1)(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(y_3-y_2)-(y_2-y_1)(x_2-x_3)}$
より、上の式に代入して、三角形の外心の X, Y 座標は
　　 $X=\frac{1}{2}\frac{({x_1}^2+{y_1}^2)(y_2-y_3)+({x_2}^2+{y_2}^2)(y_3-y_1)+({x_3}^2+{y_3}^2)(y_1-y_2)}{x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)}$
　　 $Y=\frac{1}{2}\frac{({x_1}^2+{y_1}^2)(x_3-x_2)+({x_2}^2+{y_2}^2)(x_1-x_3)+({x_3}^2+{y_3}^2)(x_2-x_1)}{x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)}$
と求められた。

重心

重心 (X, Y) はとても簡単で、
　　 $(X,Y)=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right )$
でおしまい。

垂心

まずは
　　 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$
　　 $\overrightarrow{BC}=(x_3-x_2,y_3-y_2)$
　　 $\overrightarrow{CA}=(x_1-x_3,y_1-y_3)$
である。垂心を P とすると、AP⊥BC より
　　 $\overrightarrow{AP}=k(y_2-y_3,x_3-x_2)$
BP⊥CA より、
　　 $\overrightarrow{BP}=l(y_3-y_1,x_1-x_3)$
とすれば
　　 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=(x_2-x_1,y_2-y_1)+l(y_3-y_1,x_1-x_3)=k(y_2-y_3,x_3-x_2)$
となる。これらは k, l についての連立方程式を成すので、これを解くと l は
　　 $l=\frac{(y_2-y_3)(y_2-y_1)-(x_3-x_2)(x_2-x_1)}{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(x_1-x_3)(y_2-y_3)}$
となる。よって
　　 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=(x_2,y_2)+l(y_3-y_1,x_1-x_3)$
だから、これに l を代入すれば、垂心 (X, Y) は
　　 $X=\frac{(x_1x_2 + {y_3}^2)(y_2-y_1)+(x_2x_3 + {y_1}^2)(y_3-y_2)+(x_3x_1 + {y_2}^2)(y_1-y_3)}{x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)}$
　　 $Y=\frac{(y_1y_2 + {x_3}^2)(x_1-x_2)+(y_2y_3 + {x_1}^2)(x_2-x_3)+(y_3y_1 + {x_2}^2)(x_3-x_1)}{x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)}$
と求められた。

正三角形の場合

例えば
　　 $A(0, \sqrt{3}), B(-1, 0), C(1, 0)$
とおくと、上のすべてが
　　 $(X, Y)=\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$
となって一致する。

傍心

傍心は全部で三点あります。△ABC の内心を Q とすると、AQ 上にあるところの傍心 P₁ をまず求めてみる。また、l, m, n の意味は内心の場合と同じであるとする。

中心を P₁ とする傍接円と BC の接点を D、AB との接点を E、AC との接点を F とする。このとき BE = e, CF = f とすると
　　e + f = m
　　l + e = n + f
より、
　　 $e=\frac{-l+m+n}{2},\ \ \ AE = l+e=\frac{l+m+n}{2}$
となる。ゆえに
　　 $\overrightarrow{AE}=\frac{l+m+n}{2l}\overrightarrow{AB}$
であり、また
　　 $\overrightarrow{AP_1}=k \left(\frac{n}{l+n}\overrightarrow{AB}+\frac{l}{l+n}\overrightarrow{AC} \right)$
とおける。ここで EP₁⊥AB であるから、
　　 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{EP_1}=0\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP_1}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}$
より k についての方程式
　　 $\frac{nk}{l+n}|\overrightarrow{AB}|^2+\frac{lk}{l+n}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{l+m+n}{2l}|\overrightarrow{AB}|^2$
が得られるので、これを解くと
　　 $k=\frac{(l+n)(l+m+n)}{2ln(1+\cos\angle BAC)}$
となる。あとはこれを上の式に代入すると、傍心 P₁ は
　　 $\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP_1}$
　　　　 $=\frac{-m}{l-m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{l-m+n}\overrightarrow{OB}+\frac{l}{l-m+n}\overrightarrow{OC}$
と求められた（cos は余弦定理を使って消す）。これは内心の式と非常に近い。P₁(X, Y) とすると、これは
　　 $X=\frac{-\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}x_1+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}x_2+\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}x_3}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}-\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}}$
　　 $Y=\frac{-\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}y_1+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}y_2+\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}y_3}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}-\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}+\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}}$
と書き直すことができる。

これから、他の傍心 P₂, P₃ も類推して求められるだろう。一応書いておこう。
　　 $\overrightarrow{OP_2}=\frac{m}{l+m-n}\overrightarrow{OA}-\frac{n}{l+m-n}\overrightarrow{OB}+\frac{l}{l+m-n}\overrightarrow{OC}$
　　 $\overrightarrow{OP_3}=\frac{m}{-l+m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{n}{-l+m+n}\overrightarrow{OB}-\frac{l}{-l+m+n}\overrightarrow{OC}$
しかしあとから思うと、l, m, n の順番をまちがえたね。当然 BC = l, CA = m, AB = n とすべきだった。この方がきれいだよね。